线性代数

课程信息

课程名称／课程号	适用范围与修读要求
线性代数（甲） MATH1232G	能环、过控、车辆 · 25级及以前、26级 通识必修 储能普通班 · 26级 通识必修
线性代数Ⅰ（H） MATH1261GH	慧能 · 25级及以前 通识必修 储能卓工班 · 26级 通识必修
线性代数Ⅱ（H） MATH1262GH	储能卓工班 · 26级 通识必修

线性代数（甲）与线性代数Ⅰ、Ⅱ（H）的学习资料，按所修版本参考。

课程简介

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线性代数（甲）（MATH1232G）

本课程是文理科公选课程。线性方程组的求解、矩阵理论、线性空间以及线性变换理论都是现代科学和技术的重要基础，而行列式是其中不可缺少的研究工具。二次型的研究刻画了几何的特性和需求。本课程主要围绕着上述内容展开并涵盖了全国硕士研究生入学统一考试的考纲中线性代数的所有内容。

线性代数Ⅰ（H）（MATH1261GH）

本课程以近代数学的基础知识—集合、关系、运算与映射及群、环、域的基本概念开始，从线性空间和线性映射入手，按线性空间与内积空间、线性映射、矩阵、行列式、线性方程组、特征值与特征向量、矩阵的标准形及二次型的顺序，展开线性代数的内容。用现代数学的语言阐述近代数学的思想和方法，使线性空间和线性映射的概念成为整个课程的主题。通过本课程的教学，使学生理解线性代数的基本理论、基本方法和基本思想，具有较好的代数运用能力；在培养学生抽象思维、逻辑推理能力的同时，也注重训练学生理性分析、批判思考的能力。

线性代数Ⅱ（H）（MATH1262GH）

本课程对象是对数学要求较高的专业或对数学有兴趣的学生，是《线性代数I》的强化课程。在已有的基础上，加强理论方面的训练；对内积空间作更深入的理解；线性变换（或矩阵）标准形的讨论；提供线性代数在几何上的应用。课程注重理论的推导和定理的证明，以培养学生更强的抽象思维能力。采用英文教材。通过本课程的教学，培养学生抽象思维、逻辑推理能力的同时，也注重训练学生理性分析、批判思考，以及解决问题的能力。

来源：教务网。

课程内容

分数构成

线性代数（甲）（MATH1232G）

期末考试成绩占40%.

平时成绩:（含作业10%、期中考试20%、随堂测验20%、MOOC测试10%）占60%。

本条目成绩评定的各项组成的修改，可以视具体情况，在学期初经基层教学组织骨干会议讨论后，向学生公布并执行，同时报备相关部门。

线性代数Ⅰ（H）（MATH1261GH）

考试方式：期末闭卷。

成绩构成比例：

平时成绩40%，课堂讨论、习题、随堂阶段测验、课外研究性学习和课程思政研习；

期末考试60%。

线性代数Ⅱ（H）（MATH1262GH）

考试方式：期末闭卷。

成绩构成比例：

平时成绩40%，课堂讨论、习题、随堂阶段测验、课外研究性学习和课程思政研习；

期末考试60%。

课程大纲

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线性代数（甲）（MATH1232G）

(循序渐进，教师在基本符合下列课时安排的基础上，可视教学进度做适当修正)

周次	授课章次与主要内容	课程思政融入点与实施方法	教学方式 （线上、线下、线上线下混合）	课外学习与作业要求	教学时数
第1次	排列 行列式的定义 行列式的性质	课程思政融入点： 概念产生的历史	线下	1.了解n阶排列与其逆序数,理解用排列和逆序数来定义n阶行列式。 2.掌握行列式的基本性质,并利用这些性质简化行列式的计算和证明。	3+1
第2次	行列式按行（列）展开 克莱姆法则 Laplace定理	——	线下	1.熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式，并应用该公式计算行列式, 知道Laplace定理。 2.会用Crammer法则求系数行列式不为零的线性方程组的解。	3+1
第3次	解线性方程组--消元法 矩阵的秩	中国古代数学家的贡献	线下	1.掌握消元法解线性方程组 2.理解用矩阵的k阶子式来定义矩阵的秩。 3. 熟练掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩。	3+1
第4次	解线性方程组-矩阵初等变换 矩阵的求和差、数乘、乘法、转置运算	——	线下	1.理解（用矩阵的语言）线性方程组的解的理论（无解，有解，唯一解，无穷多个解的充分必要条件）。1.理解矩阵的概念,了解几种特殊类型的矩阵的定义以及它们的性质和作用,例如单位矩阵，数量矩阵,（准）对角矩阵,三角矩阵,对称矩阵和反对称矩阵等。 2.熟练掌握矩阵的加,减,数乘,乘,转置运算,了解相应的运算规律,掌握方阵的幂,方阵的多项式的运算以及方阵的行列式的性质。	3+1
第5次	可逆矩阵 矩阵的分块	他山之石可以攻玉 类比求新的科学方法观	线下	1.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。 2.了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算方法,能将矩阵适当地分块进行运算和（简单）证明	3+1
第6次	矩阵的初等变换与初等矩阵 初等变换的矩阵乘法表示 矩阵的等价与等 标准形	——	线下	1.了解矩阵初等矩阵的概念,理解初等变换的矩阵乘法表示理论 2.熟练掌握用初等变换求逆矩阵和解简单的矩阵方程。 3.了解矩阵等价和等价标准形的概念，会用矩阵的等价标准形进行计算和（简单）证明。	3+1
第7次	线性空间定义与背景 向量的线性相关性与无关性 向量的极大线性无关组（1）	从具体到抽象 自然科学的方法观	线下	1.理解线性空间的概念，掌握线性空间的性质。 2.理解向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关的定义。了解并掌握有关向量组的线性相关与线性无关的性质及其判别法。 3.理解向量组的极大线性无关组的概念	3+1
第8次	向量的极大线性无关组（2） 基和维数	——	线下	3.理解向量组的秩的概念，掌握求向量组的极大线性无关组和向量组的秩的方法。 4.了解向量组等价、理解线性空间的基、维数和向量在一组基下的坐标等概念，掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。	3+1
第9次	子空间 矩阵的秩 齐次线性方程组解的结构	事物螺旋式发展的观点	线下	1.了解子空间，会求一组向量生成子空间的基和维数。 2.掌握向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 3.掌握向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。熟练掌握齐次线性方程组解空间的维数和系数矩阵秩的关系，	3+1
第10次	非齐次线性方程组解的结构 欧氏空间的定义 欧氏空间的性质	中国古代数学家的贡献	线下	1.熟练掌握非齐次线性方程组解的结构， 2.掌握欧氏空间和它的内积概念，度量阵等概念	3+1
第11次	欧氏空间的标准正交基 矩阵特征值与特征向量的概念与性质	——	线下	1.掌握线性无关向量组标准正交化的Schmidt方法。 2.掌握标准正交基，正交矩阵的概念以及它们的性质。 3. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量.	3+1
第12次	矩阵的对角化	——	线下	1.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质， 2.理解分属不同特征值的特征向量线性无关这一事实. 3.了解矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件，熟练掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。	3+1
第13次	矩阵的相似理论及其应用 实对称矩阵的相似对角化	——	线下	1.了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法。 2.掌握矩阵的相似理论及其应用。	3+1
第14次	二次型的定义 配方法化二次型为标准形 矩阵的合同和二次型的标准形	——	线下	1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩的概念,知道二次型的标准形。 2.掌握用配方法化二次型为标准形 3.理解矩阵的合同概念，理解二次型化标准形与对称阵合同对角化的关系。	3+1
第15次	二次型的的惯性定理 二次型的规范性 正定矩阵	从抽象到具体	线下	1.知道二次型的规范形,知道惯性定理。 2.知道实数域上矩阵合同的充分必要条件。 3.掌握用正交线性替换法化实二次型为标准形,会求二次型的秩和正,负惯性指数。 4.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法，掌握正定矩阵的性质。	3+1
第16次	线性变换及其矩阵表示（简介） 复习	——	线下	1.知道线性变换，线性变换在一组基下的矩阵，在一组基下线性变换与矩阵之间的1-1对应关系。	3+1

线性代数Ⅰ（H）（MATH1261GH）

第1次 线性代数概论、集合

第2次 关系、映射、向量

第3次 高斯消元法、线性空间

第4次 子空间、线性相关性

第5次 基和维数、向量的坐标

第6次 子空间的交与和、直和、线性映射、线性映射的像与核

第7次 线性映射的运算、有限维线性空间的线性映射、线性映射与矩阵、线性空间的同构

第8次 矩阵及其运算

第9次 矩阵的转置、初等矩阵、矩阵的秩

第10次 相抵标准型、分块矩阵、基变换与坐标变换

第11次 行列式的定义、行列式基本性质

第12次 行列式按一行展开、Cramer法则、线性方程组

第13次 相似矩阵、特征值与特征向量

第14次 可对角化的条件

第15次 二次型

第16次 正定二次型

附：时间表

周次	教学时数	教学内容（要点）	课程思政融入点与实施方法	教学形式（理论、讨论、实践、实验、测试等）
第1次	4	集合		理论、实践
第2次	4	关系、映射、向量	笛卡尔的革命性贡献	理论、实践
第3次	4	高斯消元法、线性空间	从具体到抽象的思维方式	理论、实践
第4次	4	子空间、线性相关性	——	理论、实践
第5次	4	基和维数、向量的坐标	——	理论、实践
第6次	4	子空间的交与和、直和、线性映射、线性映射的像与核	——	理论、实践
第7次	4	线性映射的运算、有限维线性空间的线性映射、线性映射与矩阵、线性空间的同构	——	理论、实践
第8次	4	矩阵及其运算	——	理论、实践
第9次	4	矩阵的转置、初等矩阵、矩阵的秩	——	理论、实践
第10次	4	相抵标准型、分块矩阵、基变换与坐标变换	——	理论、实践
第11次	4	行列式的定义、行列式基本性质	行列式在密码分享中的应用	理论、实践
第12次	4	行列式按一行展开、Cramer法则、线性方程组	——	理论、实践
第13次	4	相似矩阵、特征值与特征向量	矩阵在搜索引擎中的应用	理论、实践
第14次	4	可对角化的条件	——	理论、实践
第15次	4	二次型	——	理论、实践
第16次	4	正定二次型	——	理论、实践

线性代数Ⅱ（H）（MATH1262GH）

第1次 多项式、不变子空间

第2次 特征值与特征向量、对角化、上三角化

第3次 广义特征空间、算子分解

第4次 Jordan标准型、Jordan标准型的计算问题

第5次 特征多项式与极小多项式

第6次 内积、内积空间

第7次 线性泛函与伴随

第8次 自伴算子

第9次 正规算子、谱定理

第10次 等距同构

第11次 极分解、奇异值分解

第12次 几何向量的运算、平面与直线方程

第13次 曲面与曲线方程

第14次 二次曲线的分类

第15次 二次曲面

第16次 二次曲面的分类

附：时间表

周次	教学时数	教学内容（要点）	课程思政融入点与实施方法	教学形式（理论、讨论、实践、实验、测试等）
第1次	4	多项式、不变子空间	——	理论、实践
第2次	4	特征值与特征向量、对角化、上三角化	矩阵在搜索引擎中的应用	理论、实践
第3次	4	广义特征空间、算子分解	Schmidt对数学的贡献：勤奋与智慧的结合	理论、实践
第4次	4	Jordan标准型、Jordan标准型的计算问题	——	理论、实践
第5次	4	特征多项式与极小多项式	——	理论、实践
第6次	4	内积、内积空间	——	理论、实践
第7次	4	线性泛函与伴随	——	理论、实践
第8次	4	自伴算子	——	理论、实践
第9次	4	正规算子、谱定理	——	理论、实践
第10次	4	等距同构	——	理论、实践
第11次	4	极分解、奇异值分解	——	理论、实践
第12次	4	几何向量的运算、平面与直线方程	笛卡尔的革命性贡献	理论、实践
第13次	4	曲面与曲线方程	数与形的关系	理论、实践
第14次	4	二次曲线的分类	——	理论、实践
第15次	4	二次曲面	——	理论、实践
第16次	4	二次曲面的分类	CT扫描仪的诞生	理论、实践

学习资料链接

CC98 原帖需登录访问。

• 线性代数（甲）期末知识点整理 — ephemerall
  线性代数（甲），黄正达班相关题型
  2026年发布；原帖提供讲义，并指向作者网站的更新版。

• 线性代数章节思维导图与题型梳理 — 一只小憨猫
  线性代数（甲）；董浙班复习内容
  2026年发布，提供PDF和XMind版本。

• 线性代数Ⅱ（H）：知识梳理与课程经验 — 不要想起我
  线性代数Ⅱ（H），2025–2026春夏
  原帖的线代Ⅱ（H）分节含作者知识梳理PDF。

• 线性代数Ⅰ（H）：混合班学习经验 — 不要想起我
  2025–2026秋冬；混合班
  讨论概念理解、教材与习题训练的配合，属于H版课程经验。

• 线性代数Ⅰ／Ⅱ（H）：竺院辅学与历年题 — 竺院学业指导中心
  线性代数Ⅰ／Ⅱ（H）
  按Ⅰ、Ⅱ区分小测和期末试题，另有分学年辅学讲义。