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计算方法

课程信息

课程名称／课程号 适用范围与修读要求
计算方法
EE2201M		 储能普通班 · 26级
专业必修

课程简介

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本课程主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及基础理论，主要内容包括：误差分析、插值法、曲线拟合、数值积分、解非线性方程的数值方法、解线性方程组的数值方法和解常微分方程的数值方法。课程具体介绍实现各种算法的步骤，使学生能在计算机上实现这些算法。

来源：教务网。

课程内容

分数构成

课程考核方式：笔试+平时作业+上机+线上学习

成绩评定方式：期末考试60%

平时作业：10%

上机报告：10%

线上学习：20%

期末考试卷面各部分分数分布与学时比例大致相当。

共有5个考核点：

考核点1：拉格朗日插值算法、牛顿插值算法以及他们的异同，掌握插值唯一性原理；

考核点2：最小二乘法原理和计算步骤；

考核点3：高斯消去法和列主元高斯消去法等线性方程组直接解法的原理和计算步骤；

考核点4：解方程组的三种迭代法的原理和迭代步骤；

考核点5：迭代算法求解微分方程和积分方程的基本步骤，包括欧拉法、改进欧拉法、梯形法和龙格库塔法的基本计算步骤。

课程大纲

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第一周 绪论与Matlab基础

理论讲授（4课时）

主要内容：

  1. 绪论

（1）误差的种类、有效数字与误差的关系

结合电气工程相关的数值计算问题，重点介绍误差的来源和分类方法，并介绍有效数字的确定以及误差和有效数字的相互转换方法。

（2）误差的传播与估计、数值稳定性

利用高等代数相关知识，介绍误差在数值计算中的传播和估计方法，并根据具体的例子说明数值稳定性与算法之间的重要关系。

  1. Matlab仿真平台及算法构成基本框架

（1）介绍MATLAB编程环境及其语法。

课外学习与作业要求：

1.绪论部分：“智慧树”平台章节测试题；思考题：数值计算的来源、本质是什么？有效数字与数值误差关系？

2.Matlab基础：预习知识：熟悉Matlab的基本界面；思考题：Matlab编程语言与C语言的异同。

实践活动（2课时）

主要内容：熟悉MATLAB编程环境

第二周 非线性方程求解

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.非线性方程求解：二分法与试探法求根

介绍复杂一元非线性方程的性质及其数值求解方法，重点介绍二分法、试探法流程及其实现方法。

2.非线性方程求解：迭代法基本思想，牛顿法和弦割法

重点介绍非线性方程的牛顿法，介绍迭代法性质、基本思想和收敛性若干充分条件。

课外学习与作业要求：

1.二分法与试探法求根部分：思考题：二分法与试探法的流程合理性的评价指标是什么？二分法的收敛充分条件是什么？

2.迭代法基本思想，牛顿法和弦割法部分：“智慧树”平台章节测试题；思考题：什么是迭代算法？迭代算法特点是什么？迭代算法的收敛性必要条件是什么，在什么条件下容易找到充要条件？

实践活动（2课时）

主要内容：熟悉MATLAB编程环境

第三周 线性方程组求解的直接法

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.线性方程组求解：求解线性方程组的高斯消去法和列主元高斯消去法

介绍高斯消去法和列主元高斯消去法的基本流程，基本原理和应用范围。

2.线性方程组求解：求解线性方程组的三角法、追赶法和平方根法

介绍线性方程组的三角法的特点和应用范围；介绍追赶法在对付对角加边方程的独特优势。

课外学习与作业要求：

1.求解线性方程组的高斯消去法和列主元高斯消去法部分：思考题：方程组的计算方法分类依据、高斯消去方法和列主元高斯消去法解的合理性判别依据？列主元消去法用线性代数的坐标变换如何理解？

2.求解线性方程组的三角法、追赶法和平方根法部分：思考题：三角法和高斯消去法的关系是什么？如何用线性代数的知识理解三角法？

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现非线性方程求解算法

第四周 线性方程组求解的间接法

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.线性方程组求解：向量、矩阵与线性方程组

介绍向量和矩阵范数的定义、线性方程组的条件数以及求解线性代数方程组的雅可比迭代法流程等。

2.线性方程组求解：赛德尔迭代法，牛顿拉夫逊方法

介绍电气工程中经常用到的高斯赛德尔方法和牛顿拉不逊算法步骤，收敛条件及编程技巧。

课外学习与作业要求：

1.向量、矩阵与线性方程组部分：思考题：向量范数和向量的模差异在哪里？不同矩阵范数之间的联系是什么？

2.赛德尔迭代法，牛顿拉夫逊方法部分：“智慧树”平台章节测试题；思考题：高斯赛德尔算法原理是什么？牛顿拉不逊算法的步骤是什么？牛顿拉不逊方法和牛顿迭代算法的异同是什么？

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现非线性方程求解算法

第五周 插值与拟合

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.插值与拟合：插值基本概念和拉格朗日插值

（1）理解插值概念及插值多项式存在唯一性

介绍插值的概念和工程背景，从数学上解释插值多项式的存在性和唯一性条件等。

（2）熟练掌握拉格朗日插值法及余项公式，介绍拉格朗日插值的思想和具体实现方法，分析拉格朗日插值带来的误差并理解提高拉格朗日插值精度的条件。

2.插值与拟合：牛顿插值法

（1）掌握牛顿插值多项式

介绍牛顿插值的思想和具体方法，分析拉格朗日插值的误差。

（2）掌握分段插值

介绍分段差值方法的思想和具体方法，介绍分段差值方法和其它插值方法的优缺点和适用范围。

课外学习与作业要求：

1.插值基本概念和拉格朗日插值部分：预习知识：线性代数求逆和高等代数中的反函数定理。思考题：插值唯一性的数学基础是什么？结合电气工程领域，思考插值用的较多的场合？

2.牛顿插值法部分：思考题：分段差值法的精度是不是比其它插值方法精度更高？

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现线性方程组求解算法

第六周 数值积分

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.插值与拟合：最小二乘法

介绍曲线拟合的基本思想和数学原理，重点介绍基于多项式的最小二乘法方法。

2.数值积分

（1）数值积分公式的一般形式、导出方法、截断误差的概念

（2）复化梯形求积公式、辛浦生求积公式

课外学习与作业要求：

1.最小二乘法部分：“智慧树”平台章节测试题；预习知识点：线性代数中的向量长度概念。思考题：最小二乘法与多项式最小二乘法的关系及应用场合？

2.数值积分部分：思考题：非线性电路状态方程和电磁场中的麦克斯韦方程是积分方程还是微分方程？他们之间的联系与区别是什么？数值积分公式和不定积分的方法区别是什么？

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现插值与拟合算法

第七周 数值微分

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.数值微分

（1）龙贝格积分法性质及编程流程

（2）数值微分计算方法性质及误差修正

2.常微分方程：初值问题

主要介绍电气工程专业中经常用到的解常微分方程计算方法，包括以下的知识点：

（1）解常微分方程的欧拉法

（2）欧拉法的误差分析及改进措施

（3）改进欧拉法的特点及编程步骤

课外学习与作业要求：

1.数值微分部分：“智慧树”平台章节测试题；思考题：龙贝格积分法性质是什么？数值微分误差定义和常规迭代算法的误差定义有什么区别？

2.常微分方程初值问题部分：思考题：改进欧拉法是欧拉法在哪些地方的改进？改进欧拉法为什么提高了计算精度，相比起来缺点是什么？

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现进行数值积分与微分算法

第八周 常微分方程

理论讲授（4课时）

主要内容：

1.常微分方程

（1）解常微分方程的龙格－库塔法

（2）解常微分方程的多步法

（3）解常微分方程的隐式梯形法

2.计算方法新进展

对整个课程内容进行回顾，对若干问题的最新进展进行综述归纳，并回答同学们的提问。

课外学习与作业要求：

1.常微分方程部分：“智慧树”平台章节测试题；思考题：改进牛拉法和隐式梯形法的优缺点？它们之间的精度和适用范围是什么？

2.计算方法新进展部分：“智慧树”平台期末考试题。

实践活动（2课时）

主要内容：编程实现求解常微分方程的算法

附：时间表

周次

学时

教学内容（要点）

课程思政融入点和实施方法

教学形式（理论、讨论、实践、实验、测试等）

1

4

绪论与Matlab基础

课程思政融入点：树立目标与信心

案例①：“人生与爬楼梯”的故事

课程思政融入点：爱国情怀

案例②：Matlab国内使用情况，仿真软件卡脖子问题

理论讲授

1

2

熟悉MATLAB编程环境

实践活动

2

4

非线性方程求解

课程思政融入点：社会责任

案例③：结合牛顿法在工程中的应用，讲述工程案例

理论讲授

2

2

熟悉MATLAB编程环境

实践活动

3

4

线性方程组求解的直接法

课程思政融入点：人生态度

案例④：通过讲述自身科研经历，让学生笃信未来人生道路，培养不怕挫折、锐意进取的人生态度

理论讲授

3

2

编程实现非线性方程求解算法

实践活动

4

4

线性方程组求解的间接法

课程思政融入点：创新方法

案例⑤：通过算法的递进讲述创新的两种模式

理论讲授

4

2

编程实现非线性方程求解算法

实践活动

5

4

插值与拟合

课程思政融入点：独立思考

案例⑥：科学家切蜘蛛脚

理论讲授

5

2

编程实现线性方程组求解算法

实践活动

6

4

数值积分

理论讲授

6

2

编程实现插值与拟合算法

实践活动

7

4

数值微分

课程思政融入点：严谨求是

案例⑦：结合算法中误差的影响讲述科学研究中严谨求是的重要意义

理论讲授

7

2

编程实现进行数值积分与微分算法

实践活动

8

4

常微分方程

课程思政融入点：家国情怀

案例⑧：分享原创诗词：《江城子·少年志-致计算方法学生》《满庭芳·贺浙大电气百年华诞》

理论讲授

8

2

编程实现求解常微分方程的算法

实践活动

学习资料链接

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